随机变量函数的分布

Distribution of Functions of Random Variables

当随机变量 $X$ 取值为 $x$ 时，随机变量 $Y$ 的取值为 $y=g(x)$，则称 $Y$ 是随机变量 $X$ 的函数，记为 $Y=g(X)$ （ $g(x)$ 是定义在随机变量 $X$ 的一切可能取值 $x$ 集合上的函数 ）

graph LR
1["随机变量
函数的分布"]-->2[离散型]
1--> 3[连续型]
3--> 5[一般情形] & 4[特殊分布]
4--> 正态分布 & 对数正态分布 & 均匀分布
5--> 分布函数法

一、离散随机变量函数的分布

$X$ 有概率分布律，则 $Y$ 的分布律可以表示为：

当 $g(x_i)$ 中有某些值相等，将相等的值合并，概率相加即可

例题

$X$ 1 2 3 $\cdots$ n $\cdots$
$p_k$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ${\displaystyle \frac{1}{2^2}}$ ${\displaystyle \frac{1}{2^3}}$ $\cdots$ ${\displaystyle \frac{1}{2^n}}$ $\cdots$

$Y=\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}X)$ 的分布律？

所以 $Y$ 只可能取 $-1,0,1$
$P\{Y=-1\}={\displaystyle \frac{1}{2^3}}+{\displaystyle \frac{1}{2^7}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2^{4k-1}}}+\cdots ={\displaystyle \frac{\frac{1}{2^3}}{1-\frac{1}{2^4}}}={\displaystyle \frac{2}{15}}$ 等比级数求和
同理 $P\{Y=0\}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ $P\{Y=1\}={\displaystyle \frac{8}{15}}$

二、连续随机变量函数的分布

1. 分布函数法

先找 Y 的分布函数，再求导得出 Y 的概率密度函数
（完全按照定义得到，很好思考）

1.1 当 $g(x)$ 严格单调时

如果 $g(x)$ 单调递增：

如果 $g(x)$ 单调递减：

综上：

1.2 当 $g(x)$ 为其他形式时

也是使用分布函数法求分布函数和概率密度函数（注意要对 y 进行分类讨论）

2. 特殊分布的函数的分布

2.1 正态分布

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$
$Y=aX+b\sim N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$
正态分布的线性变换仍为正态分布
$E(Y)=a\mu +b$
$D(Y)=a^2{\sigma }^2$

2.2 对数正态分布

属于长尾分布

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$
$Y=e^X\sim LN(\mu ,{\sigma }^2)$

2.3 均匀分布

若 $X$ 的分布函数 $F_X(x)$ 为严格单调增的连续函数，其反函数 $F_X^{-1}(x)$ 存在，则 $Y=F_X(X)$ 服从 $(0,1)$ 上的均匀分布